**수학 2, 미적분에 해당되는 역함수의 정의와 성질, 증가 및 감소 함수와 역함수의 관계, 역함수의 교점의 성질에 대한 내용입니다. 내용 중 오류가 있다면 댓글로 알려주시면 검토 후 수정할 수 있도록 하겠습니다.
1. 역함수의 정의
역함수의 기본적인 개념에서는 연속이나 미분가능성이 상관이 없지만 이번 글에서는 최종적으로 함수와 역함수의 그래프 개형과 교점의 개수를 살펴보기 위해서 모든 함수를 미분 가능한 함수 내에서 생각하겠습니다.
2. 역함수의 존재 가능성과 그래프의 증가(또는 감소)
미분 가능한 함수에서 역함수가 존재하기 위한 조건은 그래프 개형으로 쉽게 판단할 수 있습니다. 미분 가능한 함수가 역함수의 정의를 만족시키기 위해서는 그래프의 개형이 증가하거나 또는 감소해야 함을 판단할 수 있으며, 미분 가능한 함수이므로 도함수의 부호와도 연결해서 생각할 수 있습니다.
3. 함수와 그 역함수의 그래프의 개형의 관계, 역함수 관계의 두 함수는 증가(또는 감소)를 함께한다.
2번에서 역함수가 존재하기 위해서는 그래프가 증가함수이거나 감소 함수임을 알 수 있었습니다. 역함수 관계의 두 함수는 서로 역함수가 존재하는 함수이므로 모두 증가하거나 감소해야 한다는 것인데 이것이 어떤 관계가 있는지 미분을 통해서 증명했습니다.
4. 역함수 관계인 두 함수가 증가할 때, 교점의 위치는 y=x
역함수 관계인 두 함수가 모두 증가함수 일 때, 교점이 존재한다면 반드시 직선 y=x위에 있어야 합니다. 아래 증명은 모순을 통해서 a=b임을 보이는 과정입니다.
5. 역함수 관계인 두 함수가 감소할 때, 교점의 위치와 개수
역함수 관계인 두 함수가 모두 감소 함수 감소 함수 일 때, 교점이 존재한다면 직선 y=x위에 있지 않을 수도 있다는 반례를 참고해주세요. 그리고 감소 함수일 때, 교점의 개수가 어떠한 특징(쌍으로 존재하며 반드시 홀수)으로 형성되는지에 대한 설명 및 증명입니다.
6. 역함수 관계인 두 함수가 감소하며, 원점 대칭인 함수 일 때
역함수 관계인 두 함수가 모두 감소 함수이고 여기서 원점 대칭(기함수)이라는 조건이 추가되면 모든 교점은 반드시 y= -x위에 있다는 성질을 관찰할 수 있습니다. 아래는 그에 대한 상세한 설명 및 증명입니다.
[참고 문제]
위에서 증명한 역함수의 교점, 역함수 교점의 위치의 개념을 이용하여 해결할 수 있는 문제입니다. 2021학년도 고3 10월 전국연합 학력평가 미적분 30번 문제로 나왔으며 풀이는 아래 링크를 참고해주세요.
[풀이] 2021학년도 고3 10월 전국연합 학력평가 수학(수학 1, 수학 2, 확률과 통계, 미적분, 기하) 문제 및 해설 손글씨 풀이(정답률, 오답률, 등급컷) https://kamdongmath.tistory.com/181 [감수학]
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