이항분포 평균 분산 증명 3가지 방법, E(X)=np V(X)=np(1-p) [확률과 통계]

[이항 분포에 대한 전반적인 내용]

이항 분포는 이산 확률변수의 한 종류로 확률과 통계의 통계 부분에서 독립 시행과 함께 중요하게 다루고 있다. 개념 중에서 가장 중요하다고 할 수 있는 것은 문제 상황에서 주어진 확률변수가 이항 분포를 따르고 있음을 판단할 수 있는가?이다.
대부분의 경우 다음 세 가지를 만족하면 그 확률변수는 이항 분포를 따른다고 볼 수 있다.

같은 행동을 반복해서 시행하고 있는가? (예, 주사위, 동전, 승부차기, 자유투 등등)
반복하고 있는 시행의 확률이 독립인가? (독립 시행의 여부 판단)
확률변수가 횟수, 개수, 인원수 등을 나타내고 있는가?

마치 공식처럼 모든 경우가 위의 세 가지처럼 나타나는 것은 아니므로 다양한 문제를 경험하면서 이항 분포 인지 아닌지를 판단할 수 있는 능력을 기르는 것이 필요하다.

이산 확률변수에서 평균과 분산을 구하는 방법은 어렵지 않으나 확률변수가 많아지면 손으로 계산하기 힘든 경우가 있다. 이항 분포가 그 경우에 속하며 다행스럽게도 이항 분포는 복잡한 계산을 하지 않고도 평균과 분산을 구할 수 있는 공식이 있다.

X~B(n, p) 일 때, E(X)=np, V(X)=np(1-p)

대부분 교과서에서 간단한 예를 통해서 공식이 성립함을 보이고 실제 증명은 복잡하여 생략하는 경우가 있다. 그러나 고등학교 교육과정을 이용해서 충분히 할 수 있고, 증명에 대한 일부분이 모의고사로 출제된 경우도 있다. 공식에 대한 증명은 아래와 같은 방법으로 할 수 있다.

[증명 방법]

첫 번째 증명방법

첫 번째 증명방법은 조합, 이항 정리, 이항 분포의 기본적인 내용을 바탕으로 증명을 하고 있다. 증명을 스스로 해낼 수 있으면 좋지만 증명을 따라가면서 이해하고 파악하는 것도 많은 공부가 될 것이다.

두 번째 증명방법

두 번째 증명방법은 아래 조합의 성질을 이용하여 증명하는 점이 흥미롭다. 증명을 따라가다 보면 실제로 첫 번째 증명방법과 매우 유사하다는 것을 알 수 있고, 시그마 안에서 섬세하게 숫자들을 조절하는 방법을 배울 수 있다.

이항분포-평균-분산-두번째-증명방법(2) — 이항분포 평균, 분산 두번째 증명방법(2)

세 번째 증명방법

세 번째는 미분법(다항함수 미분, 합성함수 미분, 곱의 미분)을 이용하여 증명하는 방법이다. 기본적인 이항정리 식을 양변을 미분하고 x를 곱해가며 E(X)와 E(X^2)의 형태로 만들어가는 부분이 흥미롭다. 세 번째 방법은 (q+x)^n 이 아닌 다른 식으로도 가능하다.